🌀 Винтовое движение
Стереометрия 10–11

Винтовое движение: Просто и понятно

Винтовое движение объединяет два фундаментальных движения: поворот вокруг оси и скольжение вдоль неё. Так устроен штопор, саморез, винтовая лестница и молекула ДНК!

🦔
Понятно даже ежу: Обычная карусель кружит на месте (поворот). Лифт едет строго вверх (перенос). А если карусель при вращении взлетает вверх — получаем винтовое движение!
Интерактив: Нажми на карточку

Карточки-перевёртыши: Разберись за 10 секунд

Коснись любой карточки пальцем, чтобы перевернуть её и узнать секрет:

🔄
Что такое поворот? Нажми проверить 👆
Вращение вокруг оси на угол $\varphi$. Расстояния между точками не меняются, но фигура кружится на одной высоте.
⬆️
Что такое перенос? Нажми проверить 👆
Прямой сдвиг всех точек пространства на вектор $\vec{p}$. Всё перемещается параллельно, сохраняя форму.
🔩
Винтовое движение? Нажми проверить 👆
Композиция: поворот вокруг оси + сдвиг вдоль этой же оси. Точки летят по трёхмерной спирали!
🎯
Что остаётся на месте? Нажми проверить 👆
Точек нет (улетают вверх), плоскостей нет. Неподвижна только ось — она скользит вдоль себя!
Мини-игра для урока

Геометрическая «Змейка»: Играй прямо здесь

Собирай параметры винта: угол $\varphi$ и вектор сдвига $\vec{p}$! Геометрический смысл: по горизонтали поле замкнуто (выходя слева, змейка появляется справа) — это точная плоская развёртка поверхности цилиндра!

🍎 Собрано параметров: 0

📱 На телефоне: просто проводи пальцем по экрану (свайпы вверх, вниз, влево, вправо)
💻 На ПК: стрелки клавиатуры или клавиши W, A, S, D

3D Модель

Плавная 3D-модель винта

Вращай фигуру пальцем в 3D. Нажми «Авто-полет», чтобы запустить шелковистую анимацию:

👆 Крути 3D пальцем
Пункт 1

1. Определение винтового движения

Определение:

«Винтовое движение – это композиция поворота $R_{\alpha}^{\varphi}$ на угол $\varphi$ вокруг оси $\alpha$ на вектор $\vec{p}$, который параллелен этой оси».

$$T_{\text{винт}} = t_{\vec{p}} \circ R_{\alpha}^{\varphi}, \quad \vec{p} \parallel \alpha$$

Оригинальные схемы из конспекта (первая фотография):

Схемы винтового движения из страницы 1
Перемещение тетраэдра $ABCD \to A_1B_1C_1D_1$ на цилиндре и траектория точки $M \to M' \to M''$
Пункт 2

2. Доказательство, что это — движение

Доказательство:

«Поворот и перенос – это движение, следовательно их композиция тоже движение, т.к. каждое преобразование сохраняет расстояние между точками».

$$|X'Y'| = |XY| \quad \text{и} \quad |X''Y''| = |X'Y'| \implies |X''Y''| = |XY|$$
🔀
Порядок действий не имеет значения: Неважно, что делать сначала — повернуть, а потом сдвинуть, или наоборот сдвинуть, а потом повернуть. Результат одинаковый: $$R_{\alpha}^{\varphi} \circ t_{\vec{p}} = t_{\vec{p}} \circ R_{\alpha}^{\varphi}$$
Пункт 3

3. Полный геометрический вывод формул

Рассмотрим пространственную прямоугольную систему координат $Oxyz$ (вторая фотография):

3D система координат Oxyz
3D координатные плоскости $Oxyz$

Шаг 1: Вывод формул поворота вокруг оси $Oz$

Пусть ось винта совпадает с осью $Oz$. При повороте вокруг $Oz$ координата $z$ остаётся неизменной ($z' = z$), а в плоскости $Oxy$ происходит поворот точки $M(x, y)$ на угол $\varphi$.

1. В полярных координатах: $x = r\cos\psi, \; y = r\sin\psi$.

2. При повороте на угол $\varphi$: $x' = r\cos(\psi + \varphi), \; y' = r\sin(\psi + \varphi)$.

3. По формулам сложения тригонометрии раскрываем скобки:

$$\begin{aligned} x' &= r(\cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\sin\varphi) = x\cos\varphi - y\sin\varphi \\ y' &= r(\sin\psi\cos\varphi + \cos\psi\sin\varphi) = x\sin\varphi + y\cos\varphi \end{aligned}$$

Шаг 2: Добавление переноса на вектор $\vec{p}$

Вектор параллелен оси вращения $Oz$: $\vec{p} = (0, 0, h)$, где $h$ — шаг винта:

$$\begin{cases} x'' = x\cos\varphi - y\sin\varphi \\ y'' = x\sin\varphi + y\cos\varphi \\ z'' = z + h \end{cases}$$

📱 Интерактивный калькулятор координат

$$M'' = (0.00,\; 3.00,\; 6.00)$$
Пункт 4

4. Неподвижные объекты

Неподвижные объекты:

Если $\varphi \ne 180 \cdot n$, $n$ – целое:

  1. 1) неподвижных точек нет
  2. 2) неподвижная прямая только ось поворота
  3. 3) неподвижных плоскостей нет
Пункт 5

5. Ориентация пространства

Ориентация пространства:

«Ориентация не меняется. Док-во аналогично».

Поворот вокруг оси сохраняет ориентацию.
Параллельный перенос сохраняет ориентацию.
Следовательно: их композиция (винтовое движение) тоже сохраняет ориентацию пространства!
Пункт 6

6. Практические задачи для класса

Задача 1 (Разбираем у доски)

Нахождение образа точки и расстояния

Условие: Точка $A(3, 0, 2)$ совершает винтовое движение вокруг оси $Oz$ на угол $\varphi = 90^\circ$ со сдвигом на вектор $\vec{p}(0, 0, 4)$.
1) Найдите координаты образа $A''$.
2) Найдите расстояние $|AA''|$ между начальной и конечной точкой.

👉 Показать понятное пошаговое решение

1. Поворот на $90^\circ$:

$$x' = 0, \quad y' = 3, \quad z' = 2 \implies A'(0, 3, 2)$$

2. Сдвиг на вектор $(0, 0, 4)$:

$$x'' = 0, \quad y'' = 3, \quad z'' = 2 + 4 = 6 \implies A''(0, 3, 6)$$

3. Расстояние:

$$|AA''| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 0)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$$

Ответ:

$$A''(0, 3, 6), \quad |AA''| = \sqrt{34} \approx 5{,}83$$
Задача 2 (Быстрый опрос)

Неподвижные плоскости

Вопрос: Существуют ли неподвижные плоскости при винтовом движении, если угол $\varphi \ne 180^\circ \cdot n$?

A) Да, любая плоскость, перпендикулярная оси винта.
B) Да, плоскость, проходящая через саму ось винта.
C) Нет, неподвижных плоскостей вообще не существует!
Слайд 1 из 6

Винтовое движение

Определение:

«Винтовое движение – это композиция поворота $R_{\alpha}^{\varphi}$ на угол $\varphi$ вокруг оси $\alpha$ на вектор $\vec{p}$, который параллелен этой оси».

$$T_{\text{винт}} = t_{\vec{p}} \circ R_{\alpha}^{\varphi}, \quad \vec{p} \parallel \alpha$$
Слайд 1
Слайд 2 из 6

Док-во что это движение

Доказательство:

«Поворот и перенос – это движение, следовательно их композиция тоже движение, т.к. каждое преобразование сохраняет расстояние между точками».

$$|X'Y'| = |XY| \quad \text{и} \quad |X''Y''| = |X'Y'|$$ $$\Downarrow$$ $$|X''Y''| = |XY|$$

★ Порядок действий не имеет значения: $R_{\alpha}^{\varphi} \circ t_{\vec{p}} = t_{\vec{p}} \circ R_{\alpha}^{\varphi}$ (сначала повернуть или сначала сдвинуть — итог один и тот же!)

Слайд 3 из 6

Вывод формул в координатах

1) Полярные координаты: $x = r\cos\psi,\; y = r\sin\psi$

2) Поворот на угол $\varphi$: $x' = r\cos(\psi+\varphi),\; y' = r\sin(\psi+\varphi)$

3) Формулы сложения тригонометрии:

$$\begin{aligned} x' &= r(\cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\sin\varphi) = x\cos\varphi - y\sin\varphi \\ y' &= r(\sin\psi\cos\varphi + \cos\psi\sin\varphi) = x\sin\varphi + y\cos\varphi \end{aligned}$$

4) Сдвиг вдоль оси $Oz$ на $\vec{p}(0,0,h)$:

$$\begin{cases} x'' = x\cos\varphi - y\sin\varphi \\ y'' = x\sin\varphi + y\cos\varphi \\ z'' = z + h \end{cases}$$
Слайд 3
Слайд 4 из 6

Неподвижные объекты

Если $\varphi \ne 180 \cdot n, \; n \in \mathbb{Z}$:

1) Точки

НЕТ

Все точки смещаются на вектор $\vec{p}$

2) Прямые

ТОЛЬКО ОСЬ

Ось поворота переходит в себя

3) Плоскости

НЕТ

Неподвижных плоскостей нет

Слайд 5 из 6

Ориентация пространства

Ориентация пространства:

«Ориентация не меняется. Док-во аналогично».

Поворот сохраняет ориентацию + Перенос сохраняет ориентацию
$\Downarrow$
Ориентация пространства сохраняется

• Зеркального отражения не происходит: правая рука остаётся правой, а спираль сохраняет направление закрутки.

Слайд 6 из 6: Практика

Задача у доски

Условие: Точка $A(3, 0, 2)$ совершает винтовое движение вокруг оси $Oz$ на угол $\varphi = 90^\circ$ и вектор $\vec{p}(0, 0, 4)$. Найти образ $A''$ и расстояние $|AA''|$.

1) Поворот на $90^\circ$: $(3, 0, 2) \longrightarrow (0, 3, 2)$
2) Сдвиг на вектор $\vec{p}(0, 0, 4)$: $(0, 3, 2 + 4) = (0, 3, 6)$
3) Расстояние между $A(3, 0, 2)$ и $A''(0, 3, 6)$:
$$|AA''| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 0)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$$

Ответ: $A''(0, 3, 6), \quad |AA''| = \sqrt{34}$