Бесконечно малая (б.м.) α(x): Функция, стремящаяся к 0 в окрестности точки a (lim α(x) = 0).
Бесконечно большая (б.б.) φ(x): Функция, стремящаяся к ∞ (lim φ(x) = ∞).
Золотое правило: Заменять функции на эквивалентные можно ТОЛЬКО в сомножителях (умножение/деление). В суммах и разностях заменять в лоб НЕЛЬЗЯ!
| Функция-монстр | Эквивалентна (∼) |
|---|---|
| sin(x) | x |
| tg(x) | x |
| eˣ - 1 | x |
| aˣ - 1 | x · ln(a) |
| ln(1 + x) | x |
| logₐ(1 + x) | x / ln(a) |
| (1 + x)α - 1 | α · x |
| 1 - cos(x) | x² / 2 |
Символ o(f) читается как "о-малое от f".
Простая аналогия: Представь, что функция f — это большое яблоко. Тогда o(f) — это микроскопическая пылинка на этом яблоке. В масштабах яблока этой пылинкой можно пренебречь!
Как работают правила математики с этой пылинкой (в уравнениях читаем строго слева направо!):
o(f) + o(f) = o(f) ➡️ Пылинка плюс пылинка = всё та же пылинка. (Они не становятся "двумя пылинками", и они не уничтожаются в ноль, если их вычесть!).h · o(f) = o(f) ➡️ Если пылинку умножить на обычное число (или ограниченную функцию), она не станет яблоком. Она останется пылинкой.o(f) · o(g) = o(f · g) ➡️ Пылинка от первого умножить на пылинку от второго = супер-микро-пылинка от их произведения.o(f + o(f)) = o(f) ➡️ Мелочь от "яблока с пылинкой" — это просто мелочь от яблока.g · o(f) = o(f · g) ➡️ Обычная функция умножить на пылинку = пылинка от их произведения.o(o(f)) = o(f) ➡️ Мелочь от мелочи — это просто мелочь.Именно поэтому в пределах нельзя просто вычёркивать o-малое, пока вы не привели подобные слагаемые!
Покрути график пальцем! Синяя воронка (обычная б.м.) падает в центр равномерно. Красная чаша (высший порядок, то самое o-малое от синей) прижимается к нулю молниеносно, она почти плоская на дне.
🟢 Легко 1. Чему эквивалентно 1 - cos(4x) при x→0?
🟡 Средне 2. На что можно заменить 3ˣ - 1 в пределе?
🟡 Средне 3. Как упрощается o(f) + o(f) согласно свойству пылинки?
🔴 Сложно 4. Можно ли заменить sin(x) на x в выражении (sin(x) - x) / x³?